PID控制算法之学习笔记

小记： 1, 之前看过PID算法，云里雾里的，没彻底搞清楚。2025年5月6号，在淘宝上花费4.79元，买了二手书：『高等数学』同济大学 第七版上下册（第八版太贵了lol），最近2~3天才把上册囫囵吞枣的看了一半，刚看到定积分部分（网上的高数教程我实在是看不下去）。然后重新学习PID算法。 2, 之前也看过很多别人上传的视频或文章，总是云里雾里的，没彻底搞清楚，不知道是因为高等数学基础太差还是别人本身就没搞清楚，讲不明白。特做笔记如下： ！！！注意注意注意：PID中的微分，实际上是求导！！！

PID概述

PID（Proportional Integral Derivative）是比例、积分、微分三个英文单词的缩写，即比例、积分、微分控制。PID控制就是测量元件得到系统的输出后，将输出经过比例、积分、微分3种运算方式，叠加到输入中，从而控制系统的行为。PID信号框图和PID算法公式如下图所示：

公式中的参数解释如下：

kp：比例增益

err(t)：当前时刻的偏差

TI：积分时间常数，积分时间常数决定了积分作用的「强度」和「速度」。值越小，积分作用越强，消除稳态误差的速度越快，但系统也越容易振荡；值越大，积分作用越弱，消除稳态误差的速度越慢，但系统越稳定。

TD：微分时间常数

比例控制算法

假设有一个水缸，最终的控制目的是要保证水缸里的水位维持在1米的高度。假设初始时刻，水缸里的水位是0.2米，那么当前时刻的水位和目标水位之间是存在一个误差error的，且error为0.8。

假设通过往缸里加水的方式来控制水位，如果单纯的用比例控制算法，就是指加入的水量u和误差error是成正比的。即u=kp*error，假设kp取0.5，那么t=1时（表示第1次加水，也就是第一次对系统施加控制），那么u=0.5*0.8=0.4，所以这一次加入的水量会使水位在0.2的基础上上升0.4，达到0.6。

接着，t=2时刻（第2次施加控制），当前水位是0.6，所以error是0.4。u=0.5*0.4=0.2，第2次加水会使水位上升0.2，达到0.8。如此循环下去，就是比例控制算法的运行方式。

但是，比例控制存在着一些不足，其中一点就是：稳态误差！像上述的例子，考虑另外一种情况，假设这个水缸在加水的过程中，存在漏水的情况，假设每次加水的过程，都会漏掉0.1米高度的水。仍然假设kp取0.5，那么会存在着某种情况，假设经过几次加水，水缸中的水位到0.8时，水位将不会再变化！！！因为，水位为0.8，则误差error=0.2。所以每次往水缸中加水的量为u=0.5*0.2=0.1。同时，每次加水缸里又会流出0.1米的水。加入和流出相抵消，水位将不再变化。也就是说，我的目标是1米，但是最后系统达到0.8米的水位就不再变化了，且系统已经达到稳定。由此产生的误差就是稳态误差。

在实际情况中，汽车运动中的摩擦阻力，机械臂的运动、无人机的飞行中的各类阻力、外力和消耗都可以理解为本例中的“漏水”，所以，单独的比例控制，在很多时候并不能满足要求。

积分控制算法

如果仅仅用比例，可以发现存在稳态误差，最后的水位就卡在0.8了。于是，在控制中，我们再引入一个分量，该分量和误差的积分是正比关系。所以，比例+积分控制算法为： u=kp*error + ki * ∫error(t)dt，还是用上面的例子来说明，第一次的误差error是0.8，第二次的误差是0.4，至此，误差的积分（离散情况下积分其实就是做累加），∫error(t)dt=0.8+0.4=1.2。这个时候的控制量，除了比例部分，还有系数ki乘以这个积分项。由于这个积分项会将前面若干次的误差进行累计，所以可以很好的消除稳态误差（假设在仅有比例项的情况下，系统卡在稳态误差了，即上例中的0.8；但是加入了积分项，会让输入增大，从而使得水缸的水位可以大于0.8，渐渐到达目标的1.0），这就是积分项的作用。

微分控制算法

考虑刹车情况，当发现前面有红灯时，为了使得行车平稳，会提前放松油门并踩刹车。当车辆离停车线非常近的时候，则使劲踩刹车，使车辆停下来。整个过程可以看做一个加入微分的控制策略。

微分，在离散情况下，就是error的差值，就是t时刻和t-1时刻error的差，即u=kd*(error(t) - error(t-1))，其中的kd是一个系数项。在刹车过程中，因为error是越来越小的，所以这个微分控制项是负数，在控制中加入一个负数项，就起到了减小控制量的作用，也就是“刹车”。他存在的作用就是为了防止汽车由于刹车不及时而闯过了线。从常识上可以理解，越是靠近停车线，越是应该注意踩刹车，不能让车过线，所以这个微分项的作用，就可以理解为刹车，当车离停车线很近并且车速还很快时，这个微分项的绝对值（是个负数）就会很大，从而表示应该用力踩刹车才能让车停下来。

以上例子中车速可类比为微分项，车速越快刹车越快。切换到上面给水缸加水的例子，就是当发现水缸里的水快要接近1的时候，加入微分项，可以防止给水缸里的水加到超过1米的高度，说白了就是减少控制过程中的震荡。

PID算法逐项解释

1， 比例调节P起主要控制作用，『纠正偏差』，比例分力与当前偏差Δe(t)成正比，其反应迅速，响应速度快，但可能导致超调或振荡。比例负责“当下”，根据当前误差大小做出快速反应。

2， 积分调节I的功能是『消除稳态误差‌』，积分产生的分力正比于偏差Δe(t)的积分∫e(t)dt，即偏差的累积量，当误差持续存在时，这个分力会逐渐变大，试图消除系统在稳态时存在的静差，进而改善系统的静态性能。但可能降低系统动态响应性能，引起超调或振荡。积分负责“过去”，根据误差的历史积累进行纠正。

3， 微分调节D基于偏差的变化率（导数de(t)/dt）提前进行超前控制，当偏差变化较快时，微分作用会抑制偏差的进一步变化，从而有效减少系统的超调量，微分环节产生的分力始终阻碍偏差的变化，产生阻尼/惯性和预测功能，其作用是抑制超调、振荡，并提高动态响应速度（阶跃输入目标值和扰动时，偏差快速增大，导数是个很大的正数，更敏捷）或降低响应速度（接近目标时，偏差快速减小，导数是个很大的负数，更平稳）。微分负责“未来”，根据误差的变化趋势（变化率）进行控制。

PID注意事项：

1， 比例增益kp，积分时间常数TI，微分时间常数TD都是正数，但比例/微分/积分都是有正负的。

2， 偏差是一个状态值，偏差变化率是偏差随时间变化的速度，是一个趋势值，表示『正在以多快的速度远离或接近目标』。偏差在减小，de(t)/dt就是负数，反之亦然。微分作用抑制的不是「向目标运动」这个事实，微分作用总是试图抑制偏差当前的变化趋势。如果偏差正在减小（de/dt<0），微分作用为负，抑制减小速度，防止超调（比例调节主导，防止超调）。如果偏差正在增大（de/dt>0），微分作用为正，抑制增大速度，强力纠偏（外界干扰导致偏差，此时比例调节作用很小，微分主导）。

为什么明明是求导，反而叫微分呢！！！

d/dt表示“对时间求导数”。derr(t)/dt是偏差err(t)对时间t的导数。它表示的是『偏差变化的快慢和方向』，也就是偏差的变化率。按照纯数学视角应该叫导数项，而不是微分项。但在控制理论的语境下，“微分”一词指的是“微分运算”这个整体动作和其产生的结果，而不仅仅是数学概念中的『微分dy -> 变化量，导数dy/dx -> 变化率』。叫“微分项”是工程上的习惯，但它的核心是“求导”。这是工程习惯与历史沿革造成的：PID控制理论诞生于工程实践，早于现代严格的数学符号规范化，“微分项”是控制工程领域的惯例和习惯用法。